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2013 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第 Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1 至2 页，第Ⅱ卷3 至4 页。全卷满分150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分。第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷3 至5 页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题共 8 小题。每小题5 分，共40 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一 项。
（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B=()
（A） ｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1}（D）｛-1，,0，1}
（2）=()
（A）-1-i（B） -1+i（C）1+i（D）1-i
（3）从1，2，3，4 中任取2 个不同的数，则取出的2 个数之 差的绝对值为 2 的概率是（）
（A）（B）（C）（D）
（4）已知双曲线 C：=1 （a>0,b>0）的离心率为，则C 的渐近线方程为（）
（A）y=±x（B）y=±x（C） y=±x（D）y=±x
（5）已知命题 p：，则下列命题中为真命题的是：（）
（A） p∧q（B）￢p∧q（C）p∧￢q（D）￢p∧￢q
（6）设首项为1，公比为的等比数列｛an｝ 的前n 项和为Sn，则（）
（A）Sn=2an-1（B）Sn=3an-2（C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an
（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s 属于
（A）[-3,4]
（B）[-5,2]
（C）[-4,3]
（D）[-2,5]
（8）O 为坐标原点，F 为抛物 线C：y2=4x 的焦点，P 为C 上一点，若丨PF 丨=4，则△POF 的面积为
（A）2（B）2 （C）2（D）4
（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx 在[-π ，π ]的图像大致为
（10）已知锐角△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6， 则 b=
（A）10（B）9（C）8（D）5
（11）某几何函数的三视图如图所示，则 该几何的体积为
（A）18+8π （B）8+8π
（C）16+16π （D）8+16π
（12）已知函数 f（x）=若|f（x）|≥ax，则 a 的取值范围是
（A）（-∞]（B） （-∞](C)[-2,1](D)[-2,0]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13） 题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根 据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5 分。
（13）已知两个 单位向量a，b 的夹角为60°，c=ta+（1-t）b，若b·c=0，则t=_____.
(14)设x，y 满足约束条件，则z=2x-y 的最大值为______.
（15）已知H 是求O 的直径AB 上一点， AH:HB=1:2,AB⊥平面 a，H 为垂足，a 截球 o 所得截面的面积为 π ，则求 o 的表面积为 _______.
(16) 设当 x=θ 时，函数 f （x ）=sinx-2cosx 取得最大值，则 cosθ =______.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17） （本小题满分12 分）
已知等差数列｛an｝的前n 项和Sn 满足S3=0，S5=-5.
（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n 项和
18（本小题满分共12 分）
为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为 A 药，B 药）的疗效，随机地选取 20 位患者服用A 药，20 位患者服用B 药，这40 位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加 的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：
服用A 药的20 位患者日平均增加的睡 眠 时 间 ：
0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.5
2.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4
服 用 B 药 的 20 位 患 者 日 平 均 增 加 的 睡 眠 时 间 ：
3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4
1.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5
19. （ 本 小 题 满 分 12 分 ）
如 图 ， 三 棱 柱 ABC-A1B1C1 中 ， CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=600.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若AB=CB=2,A1C=,求 三棱柱ABC-A1B1C1 的体积
（20）（本小题满分共12 分）
已知函数f（x）=ex （ax+b）-x2-4x，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线方程为
y=4x+4
（Ⅰ） 求a，b 的值
（Ⅱ）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值
(21)(本小题 满分12 分)已知圆M：（x+1）2+y2=1,圆N：（x+1）2+y2=9,动圆P 与M 外切并且与圆N 内切， 圆心P 的轨迹为曲线C.（Ⅰ）求C 得方程；（Ⅱ）l 是与圆P,圆M 都相切的一条直线，l 与曲 线C 交于A，B 两点，当圆P 的半径最长是，求|AB|.
（10）已知锐角△ABC 的内角A， B，C 的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=
（A）10（B）9（C） 8（D）5
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定 的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号 后的方框涂黑。
（22）（本小题满分10 分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B，点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E，DB 垂直BE 交圆于D。
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F，求 △BCF 外接圆的半径。
（23）（本小题10 分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为x=4+5cost，y=5+5sint，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴简历极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为ρ =2sinθ 。
（Ⅰ）把C1 的参数方程化 为极坐标方程；
（Ⅱ）求C1 与C2 交点的极坐标（ρ ≥0,0≤θ ＜2π ）。
（24） （ 本 小 题 满 分 10 分 ） 选 修 4—5 ： 不 等 式 选 讲
已 知 函 数 f(x)=∣2x-1∣+∣2x+a∣,g(x)=x+3.
（Ⅰ）当a=2 时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
（Ⅱ）设a＞-1,且当x∈[-,)时，f(x)≤g(x),求a 的取值范围.
